Question

已知函數
(1)證明:對于一切的實數x都有f(x)x;
（2）若函數存在兩個零點,求a的取值范圍
(3)證明:

Answer 1

（1）構造函數，然后利用導數判斷函數的單調性，再利用單調性證明，（2）
(3) 利用放縮法證明

試題分析：（1）令
則            2分
當時，，當時，      3分
故在單調遞減，上單調遞增
所以有，從而有對一切實數成立      4分
（2）由=0得,         5分
令h(x)=                        6分
則,觀察得x=1時=0             7分
當x>1時>0,當0<x<1時 <0,=h(1)=e+1           8分
又
函數存在兩個零點,則a的取值范圍為      9分
(3) 由(1)知,令 …11分

=       13分
所以            14分
點評：此類問題是在知識的交匯點處命題，將函數、導數、不等式、方程的知識融合在一起進行考查，重點考查了利用導數研究函數的單調性與最值等知識