Question

【題目】在直角坐標系xOy中，已知點A（1，1），B（2，3），C（3，2），點P（x，y）在△ABC三邊圍成的區域（含邊界）上．
（1）若 ，求| |；
（2）設 =m +n （m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（1，1），B（2，3），C（3，2）， ，

∴（1﹣x，1﹣y）+（2﹣x，3﹣y）+（3﹣x，2﹣y）=0

∴3x﹣6=0，3y﹣6=0

∴x=2，y=2，

即 =（2，2）

∴

（2）解：∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），

∴ ，

∵ =m +n ，

∴（x，y）=（m+2n，2m+n）

∴x=m+2n，y=2m+n

∴m﹣n=y﹣x，

令y﹣x=t，由圖知，當直線y=x+t過點B（2，3）時，t取得最大值1，

故m﹣n的最大值為1．

【解析】（1）先根據 ，以及各點的坐標，求出點p的坐標，再根據向量模的公式，問題得以解決；（2）利用向量的坐標運算，先求出 ， ，再根據 =m +n ，表示出m﹣n=y﹣x，最后結合圖形，求出m﹣n的最小值．
【考點精析】掌握平面向量的基本定理及其意義和平面向量的坐標運算是解答本題的根本，需要知道如果、是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量，有且只有一對實數、，使；坐標運算：設，則;;設，則．