Question

【題目】某市為了鼓勵市民節約用電，實行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過200度的部分按0.5元/度收費，超過200度但不超過400度的部分按0.8元/度收費，超過400度的部分按1.0元/度收費.
（1）求某戶居民用電費用 （單位：元）關于月用電量 （單位：度）的函數解析式；
（2）為了了解居民的用電情況，通過抽樣，獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖，若這100戶居民中，今年1月份用電費用不超過260元的點80%，求 的值；

（3）在滿足（2）的條件下，若以這100戶居民用電量的頻率代替該月全市居民用戶用電量的概率，且同組中的數據用該組區間的中點值代替，記 為該居民用戶1月份的用電費用，求 的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）

當 時， ；

當 時， ，

當 時， ，

所以 與 之間的函數解析式為： ；

（2）

由（1）可知：當 時， ，則 ，

結合頻率分布直方圖可知： ，

∴ ；

（3）

由題意可知 可取50，150，250，350，450，550.

當 時， ，∴ ，

當 時， ，∴ ，

當 時， ，∴ ，

當 時， ，∴ ，

當 時， ，∴ ，

當 時， ，∴ ，

故 的概率分布列為：

	25	75	140	220	310	410
	0.1	0.2	0.3	0.2	0.15	0.05

所以隨機變量 的數學期望

.

【解析】（1）分段計算，表示出y和x之間的關系；（2）根據y=260元計算出相對應的x的值為400，依據題意有P（x≤400）=0.8；P（x≤400）+P（400＜x≤600）=0.2；（3）根據期望值進行計算即可。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解頻率分布直方圖的相關知識，掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息．