Question

【題目】如圖，在半徑為,圓心角為的扇形金屬材料中剪出一個長方形，并且與的平分線平行，設.

（1）試將長方形的面積表示為的函數；

（2）若將長方形彎曲，使和重合焊接制成圓柱的側面，當圓柱側面積最大時，求圓柱的體積（假設圓柱有上下底面）；為了節省材料，想從△中直接剪出一個圓面作為圓柱的一個底面，請問是否可行？并說明理由.

（參考公式：圓柱體積公式.其中是圓柱底面面積，是圓柱的高；等邊三角形內切圓半徑.其中是邊長）

Answer 1

【答案】（1） ；（2），直接剪出一個圓面作為圓柱的一個底面可行.

【解析】

試題分析：由題意得出，，則根據

，即可得到答案；

由（1）取最大值，由圓柱底面面積 ,計算得 ，然后得,邊長 ，內切圓半徑，由圓柱底面半徑,，做出判定

解析：（1）由題意，又

，所以

所以 .

（2）由（1）取最大值時，，所以，

因為 ，設圓柱底面半徑為,所以,,

所以圓柱底面面積 ,又 ,

所以

,因為,所以.

在等邊△中,邊長 ，內切圓半徑,

由圓柱底面半徑,因為,所以直接剪出一個圓面作為圓柱的一個底面可行.