Question

袋中有8個顏色不同，其它都相同的球，其中1個為黑球，3個為白球，4個為紅球．
（1）若從袋中一次摸出2個球，求所摸出的2個球恰為異色球的概率；
（2）若從袋中一次摸出3個球，且所摸得的3球中，黑球與白球的個數都沒有超過紅球的個數，記此時得到紅球的個數為ξ，求隨機變量ξ的概率分布律，并求ξ的數學期望Eξ和方差Dξ．

Answer 1

解：（1）摸出的2個球為異色球的不同摸法種數為C₇¹+C₃¹C₄¹=19種，從8個球中摸出2個球的不同摸法種數為C₈²=28，故所求概率為； （6分）
（2）符合條件的摸法包括以下三種：一種是所摸得的3球中有1個紅球，1個黑球，1個白球，共有C₄¹C₃¹=12種不同摸法，一種是所摸得的3球中有2個紅球，1個其它顏色球，共有C₄²C₄¹=24種不同摸法，一種是所摸得的3球均為紅球，共有C₄³=4種不同摸法，故符合條件的不同摸法共有40種．
由題意隨機變量ξ的取值可以為1，2，3．得隨機變量ξ的概率分布律為：（12分）

x	1	2	3
P（ξ=x）

，（13分）．（14分）
分析：（1）摸出的2個球為異色球的不同摸法種數為C₇¹+C₃¹C₄¹=19種，從8個球中摸出2個球的不同摸法種數為C₈²=28，由此能得到所求概率．
（2）符合條件的摸法包括以下三種：一種是所摸得的3球中有1個紅球，1個黑球，1個白球，共有C₄¹C₃¹=12種不同摸法，一種是所摸得的3球中有2個紅球，1個其它顏色球，共有C₄²C₄¹=24種不同摸法，一種是所摸得的3球均為紅球，共有C₄³=4種不同摸法，故符合條件的不同摸法共有40種．由題意隨機變量ξ的取值可以為1，2，3．由此求出隨機變量ξ的概率分布列和ξ的數學期望Eξ及方差Dξ．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列、數學期望和方差的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意概率的計算．