Question

設函數，，，
（1）若曲線與軸相切于異于原點的一點，且函數的極小值為，求的值；
（2）若，且，
①求證：； ②求證：在上存在極值點．

Answer 1

(1) ，.  (2) 在上是存在極值點

解析試題分析：
(1)分析題意,可得該三次函數過原點,根據函數與x軸相切,所以有個極值為0且有一個重根,故可得函數有一個極大值0和一個極小值,有一個重根,則對因式分解會得到完全平方式,即提取x的公因式后,剩下二次式的判別,得到a,b之間的關系式,再根據極小值為,則求導求出極小值點,得到關于a,b的另外一個等式,即可求出a,b的值.
(2) ①對求導,帶入與已知條件聯立化簡即可得到需要的不等式.
②求出,討論a的取值范圍,證明其中必有兩者異號,則根據零點存在定理,即可證明有極值點.
試題解析：
（1），
依據題意得：，且．             2分
，得或．
如圖，得,
∴，，
代入得，.              4分

（2）①．

．           8分
②，．
若，則，由①知，
所以在有零點，從而在上存在極值點．          10分
若，由①知;
又，
所以在有零點，從而在上存在極值點．……12分
若，由①知，，
所以在有零點，從而在上存在極值點．
綜上知在上是存在極值點．                 14分
考點：零點存在定理 導數 極值 切線