Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）設函數，其中.證明：的圖象在圖象的下方.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

(3)證明見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）求出函數的導數，計算和的值，點斜式求出切線方程即可.

（Ⅱ）設，并求導.將問題轉化為在區間上，恒成立，或者恒成立，通過特殊值，且，確定恒成立，通過參數分離，求得實數的取值范圍；

(Ⅲ）設，將問題轉化為證明，利用函數的導數確定函數最小值在區間，并證明. 即的圖象在圖象的下方.

詳解：解：（Ⅰ）求導，得，

又因為

所以曲線在點處的切線方程為

（Ⅱ）設函數，

求導，得，

因為函數在區間上為單調函數，

所以在區間上，恒成立，或者恒成立，

又因為，且，

所以在區間，只能是恒成立，即恒成立.

又因為函數在在區間上單調遞減，，

所以.

(Ⅲ）證明：設.

求導，得.

設，則（其中）.

所以當時，（即）為增函數.

又因為，

所以，存在唯一的，使得

且與在區間上的情況如下：

	-	0	+
	↘		↗

所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，

所以 .

又因為，，

所以，

所以，即的圖象在圖象的下方.