Question

【題目】已知函數．

(1)若,求函數的單調區間;

(2)若對恒成立,求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】

試題分析：(1)求導,考慮.分類討論的符號,即可得函數的單調性;(2),令, 由,可知在有且僅有一個零點,設為,利用討論函數的單調性并求出最小值,即可得出結論.

試題解析：

(1)函數的定義域為. 若,

則,

考慮.

當時,,即,故恒成立,

此時在單調遞增.

當時,,即方程有2個根,

由根與系數之間的關系可得,

即,

故時,,

此時在單調遞增.

當時,,

即方程有2個根,

由根與系數之間的關系可得,

即,

當或時,單調遞增,

當時,單調遞減.

此時在單調遞增.

綜上時,的單調增區間為.

當時,的單調增區間為,

的單調減區間為.

(2) 若,則,

則令, 由,可知在有且僅有一個零點,設為,

當時,,即,故在單調遞減,

當時,,即,故在單調遞增,

所以

又即

依題意,即,

易知在單調遞增,

且,故, 又,即,

易知在上單調遞減,所以.