Question

【題目】已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣ 與x=1時都取得極值，求a，b的值與函數f（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f′（x）=3x2+2ax+b
由f′（﹣ ）= ﹣ a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0
解得，a=﹣ ，b=﹣2．
f′（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），函數f（x）的單調區間如下表：

x	（﹣∞，﹣ ）	﹣	（﹣ ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

所以函數f（x）的遞增區間是（﹣∞，﹣ ）和（1，+∞），遞減區間是（﹣ ，1）
【解析】求出f′（x），因為函數在x=﹣ 與x=1時都取得極值，所以得到f′（﹣ ）=0且f′（1）=0聯立解得a與b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后討論導函數的正負得到函數的增減區間．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．