Question

定義在[－1,1]上的奇函數f(x)，已知當x∈[－1,0]時，
f(x)＝－ (a∈R)．
(1)求f(x)在[0,1]上的最大值；
(2)若f(x)是[0,1]上的增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：(1)設x∈[0,1]，則－x∈[－1,0]，
f(－x)＝－＝4^x－a·2^x，
∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝a·2^x－4^x，x∈[0,1]．
令t＝2^x，t∈[1,2]，
∴g(t)＝a·t－t²＝－(t－)²＋，
當≤1，即a≤2時，g(t)_max＝g(1)＝a－1；
當1<<2，即2<a<4時，g(t)_max＝g()＝；
當≥2，即a≥4時，g(t)_max＝g(2)＝2a－4.
綜上，當a≤2時，f(x)的最大值為a－1；
當2<a<4時，f(x)的最大值為；
當a≥4時，f(x)的最大值為2a－4.
(2)∵函數f(x)在[0,1]上是增函數，
∴f′(x)＝aln2×2^x－ln4×4^x＝2^xln2·(a－2×2^x)≥0，∴a－2×2^x≥0恒成立，
∴a≥2×2^x.∵2^x∈[1,2]，∴a≥4.
故a的取值范圍是[4，＋∞)．