Question

拋物線的頂點在原點，焦點在射線x-y+1=0（x≥0）上
（1）求拋物線的標準方程
（2）過（1）中拋物線的焦點F作動弦AB，過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M，求點M的軌跡方程，并求出

FC • FD

FM 2

的值．

Answer 1

分析：（1）先射線x-y+1=0（x≥0）與坐標軸的交點解得焦點坐標，根據拋物線的焦點坐標，求出拋物線的標準方程．
（2）設AB的直線方程y=kx+1，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量數量積的坐標運算公式即可求出

FC • FD

FM 2

的值，從而解決問題．

解答：解：（1）∵是標準方程，∴其焦點應該在坐標軸上，
∴令x=0，代入射線x-y+1=0，解得其焦點坐標為（0，1）
當焦點為（0，1）時，可知P=2，∴其方程為x²=4y．
（2）設A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x2

4

2)
過拋物線A，B兩點的切線方程分別是y=

x1

2

x-

1

4

x12，y=

x2

2

x-

x2

4

2
其交點坐標M(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)
設AB的直線方程y=kx+1代入x²=4y，得x²-4kx-4=0
∴x1x2=-4，M(

x1+x2

2

，-1)，所以點M的軌跡為y=-1
∵

FC

=(x1，

x 2 1

4

-1)，

FD

=(x2，

x 2 2

4

-1)
∴

FC

•

FD

=x1x2+(

x 2 1

4

-1)(

x 2 2

4

-1)=-

1

4

(

x

2 1

+

x

2 2

)-2
而

FM2

=(

x1+x2

2

-0)2+(-1-1)2=

1

4

(

x

2 1

+

x

2 2

)+2
∴

FC • FD

FM 2

=-1．

點評：本題主要考查平面向量數量積的運算、拋物線的標準方程．拋物線的標準方程的焦點一定在坐標軸上且定點一定在原點，即先確定焦點的坐標再求出標準方程．