Question

如圖所示，已知D是面積為1的△ABC的邊AB上任一點，E是邊AC上任一點，連接DE，F是線段DE上一點，連接BF，設

AD

=λ1

AB

，

AE

=λ2

AC

，

DF

=λ3

DE

，且λ2+λ3-λ1=

1

2

，記△BDF的面積為s=f（λ₁，λ₂，λ₃），則S的最大值是（　�。�
【注：必要時，可利用定理：若a，b，c∈R⁺，則abc≤(

a+b+c

3

)3，（當且僅當a=b=c時，取“=”）】

• A．

  1

  2

• B．

  1

  3

• C．

  1

  4

• D．

  1

  8

Answer 1

分析：由三角形ABC的面積為1且

S△ADE

S△ABC

=

1 2 AD•AEsinA

1 2 AB•ACsinA

=

λ1AB•λ2AC

AB•AC

=λ1λ2可求三角形ADE的面積，再由△DMB∽△DEA可得

h1

h2

=

DB

DA

=

1-λ1

λ1

從而有

S△DBF

S△ADE

=

1 2 DF•h1

1 2 DE•h2

= λ3• 

1-λ1

λ1

，求出三角形DEF的面積之后，利用基本不等式可求面積的最大值

解答：解：分別過B，A作BM⊥DE，AN⊥DE，垂足分別為M，N，設MB=h₁，AN=h₂
則

S△ADE

S△ABC

=

1 2 AD•AEsinA

1 2 AB•ACsinA

=λ₁λ₂
∴S_△ADE=λ₁λ₂S_△ABC=λ₁λ₂
∵△DMB∽△DNA
∴

h1

h2

=

DB

DA

=

1-λ1

λ1

從而有

S△DBF

S△ADE

=

1 2 DF•h1

1 2 DE•h2

=λ3•

1-λ1

λ1

∴SS△DBF=

λ3(1-λ1)

λ1

•λ1λ2=λ₂•λ₃（1-λ₁）≤ (

λ2+ λ3+1-λ1

3

)3=

1

8

當且僅當 λ₂=λ₃=1-λ₁=

1

2

取等號即S的最大值為

1

8

故選：D

點評：本題以向量的共線為切入點，利用向量的共線轉化為線段的長度關系，解決本題的關鍵是根據三角形的面積公式先求出三角形ADE的面積；關鍵二是把所求的三角形的面積與三角形ADE的面積之間通過三角形的像似建立聯系．本題是一道構思非常巧妙的試題，要求考試不但要熟練掌握基礎知識，更要具備綜合解決問題的能力．