Question

（本小題滿分分）
在四棱錐中，平面平面，△是等邊三角形，底面是邊長為的菱形，，是的中點，是的中點．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ) 求證：∥平面；
(Ⅲ) 求直線與平面所成角的余弦值．

Answer 1

略

（Ⅰ）∵E是AD中點，連結PE
∴AB=2，AE=1

∴
∴BE⊥AE
又平面PAD⊥平面ABCD，交線為AD，
∴BE⊥平面PAD，--------------4分
(Ⅱ) 取中點為，連結，，

∵，又∵是△的中位線，
∴，
∴，
∴ 是平行四邊形，
∴ ∥，
又 平面，平面，
∴∥平面；------------8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，，
又，是平面內兩相交直線，
∴平面，
又由（Ⅱ）知，∥，
∴ 平面，
∴ 是直線與平面所成的角，
易知，在中，
，
∴，
∴．
故直線與平面所成角的余弦值為．--------12分
解法二：容易證明，，兩兩垂直，建立所示空間直角坐標系（如圖）．

易求，則，，，，，，………2分，因為是的中點，則．---2分
（Ⅰ）∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
∵，是平面內的兩相交直線，
∴平面；-----6分
（Ⅱ）取中點為，連結，，則，
∵ ，，
∴ ∥，
∵又 平面，平面，
∴∥平面；------------9分
（Ⅲ）∵軸平面，軸平面，
∴ 平面的法向量為，
∵ ，
設直線與平面所成角為，
∴ ，即 ，
故直線與平面所成角的余弦值為．-----12分