Question

（2012•泉州模擬）某工廠欲加工一件藝術品，需要用到三棱錐形狀的坯材，工人將如圖所示的長方體ABCD-EFGH材料切割成三棱錐H-ACF．

（Ⅰ）若點M，N，K分別是棱HA，HC，HF的中點，點G是NK上的任意一點，求證：MG∥平面ACF；
（Ⅱ）已知原長方體材料中，AB=2m，AD=3m，DH=1m，根據藝術品加工需要，工程師必須求出該三棱錐的高．
（i） 甲工程師先求出AH所在直線與平面ACF所成的角θ，再根據公式h=AH•sinθ求出三棱錐H-ACF的高．請你根據甲工程師的思路，求該三棱錐的高．
（ii）乙工程師設計了一個求三棱錐的高度的程序，其框圖如圖所示，則運行該程序時乙工程師應輸入的t的值是多少？（請直接寫出t的值，不要求寫出演算或推證的過程）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證法一：利用線面平行的判定證明MK∥平面ACF，MN∥平面ACF，從而可得平面MNK∥平面ACF，利用面面平行的性質可得MG∥平面ACF；證法二：利用線面平行的判定證明MG∥平面ACF；
（Ⅱ）（i）建立空間直角坐標系，求出平面ACF的一個法向量

n

=(2，3，-6)，求出AH所在直線與平面ACF所成的角θ，再根據公式h=AH•sinθ求出三棱錐H-ACF的高
（ii）t=2．

解答：（Ⅰ）證法一：∵HM=MA，HN=NC，HK=KF，
∴MK∥AF，MN∥AC．∵MK?平面ACF，AF?平面ACF，
∴MK∥平面ACF，
同理可證MN∥平面ACF，…（3分）
∵MN，MK?平面MNK，且MK∩MN=M，
∴平面MNK∥平面ACF，…（4分）
又MG?平面MNK，故MG∥平面ACF．…（5分）
證法二：連HG并延長交FC于T，連接AT．
∵HN=NC，HK=KF，
∴KN∥FC，則HG=GT，
又∵HM=MA，∴MG∥AT，…（2分）∵MG?平面ACF，AT?平面ACF，
∴MG∥平面ACF．…（5分）
（Ⅱ）解：（i）如圖，分別以DA，DC，DH所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系O-xyz．則有A（3，0，0），C（0，2，0），F（3，2，1），H（0，0，1）．…（6分）

AC

=(-3，2，0)，

AF

=(0，2，1)，

AH

=(-3，0，1)．
設平面ACF的一個法向量

n

=(x，y，z)，
則有

n • AC =-3x+2y=0 n • AF =2y+z=0

，解得

x= 2 3 y z=-2y

，
令y=3，則

n

=(2，3，-6)，…（8分）
∴sinθ=|

AH • n

| AH || n |

|=

12

7• 10

=

6 10

35

，…（9分）
∴三棱錐H-ACF的高為AH•sinθ=

6 10

35

•

10

=

12

7

．…（10分）
（ii）t=2．…（13分）

點評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系和算法初步等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力及運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想、函數與方程思想及應用意識．