Question

【題目】如圖，在梯形中，，，，是的中點，將沿折起得到圖（二），點為棱上的動點.

（1）求證：平面平面；

（2）若，二面角為，點為中點，求二面角余弦值的平方.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）根據，證得平面，從而證得平面平面.（2）以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，通過計算和的法向量，計算出二面角余弦值的平方.

證明：（1）在圖（一）梯形中，

∵是的中點，，，

∴，.

∴四邊形為平行四邊形.

又∵，∴，

在圖（二）中，∵，，平面，平面，

∴平面，

又∵平面，∴平面平面.

解：（2）由及條件關系，得，

由（1）的證明可知，，

∴為二面角的平面角，

∴，

由（1）的證明易知平面平面，且交線為，

∴在平面內過點作直線垂直于，

則平面，

∴，，兩兩相互垂直，

∴分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，

則，，，，

∵為中點，

∴，

，.

設平面的一個法向量，

則 ，

即，

令，則，，

∴，

而平面的一個法向量，

∴ ，

∴.