Question

（12分）設命題p：{x|x²-4ax+3a²＜0}(a＞0), 
(1)如果a=1，且p∧q為真時，求實數x的取值范圍；
(2)若¬p是¬q的充分不必要條件時，求實數a的取值范圍.

Answer 1

(1)實數x的取值范圍是{x|2＜x≤3}. (2)實數a的取值范圍是{a|1＜a≤2}.

試題分析：（1）根據題意可知，命題p,q分別表示一元二次不等式的解集，然后利用且命題為真，得到實數x的取值范圍。
（2）根據¬p是¬q的充分不必要條件，表明q是p的充分不必要條件，利用集合的思想來求解得到。
(1) 當a＞0時， {x|x²-4ax+3a²＜0}={x|(x-3a)(x-a)＜0}={x|a＜x＜3a}，如果a=1時，則x的取值范圍是{x|1＜x＜3}，而{x|x²-x-6≤0,且x²+2x-8＞0}={x|2＜x≤3}，
因為p∧q為真，所以有{x|1＜x＜3}∩{x|2＜x≤3}={x|2＜x＜3}.故實數x的取值范圍是{x|2＜x≤3}.
(2) 若¬p是¬q的充分不必要條件，表明q是p的充分不必要條件.由(1)知，{x|2＜x≤3}是{x|a＜x＜3a}(a＞0)的真子集，易知a≤2且3＜3a,解得{a|1＜a≤2}.故實數a的取值范圍是{a|1＜a≤2}.
點評：解決該試題的關鍵是對于命題p,q的正確表示，尤其是含有參數的一元二次不等式不等式的求解，注意根的大小的確定解集，并利用數軸法來得到集合的包含關系進而求解。