Question

（本題滿分12分）
已知函數.
（1）當時，求證：函數在上單調遞增；
（2）若函數有三個零點，求的值；
（3）若存在，使得，試求的取值范圍。

Answer 1

（1）證明：，由于所以故函數在上單調遞增（2）（3）

試題分析：（1）
由于，故當時，，所以，
故函數在上單調遞增-----------------------------------4分
（2）當時，因為，且在R上單調遞增，
故有唯一解
所以的變化情況如下表所示：

x		0
	－	0	＋
	遞減	極小值	遞增

又函數有三個零點，所以方程有三個根，
而，所以，解得 -----------8分
（3）因為存在，使得，
所以當時，
由（Ⅱ）知，在上遞減，在上遞增，
所以當時，，
而，
記，因為（當時取等號），
所以在上單調遞增，而，
所以當時，；當時，，
也就是當時，；當時，
①當時，由，
②當時，由，
綜上知，所求的取值范圍為------------------12分
點評：將函數零點問題不等式恒成立問題轉化為求函數最值