Question

如圖，三棱柱中，側棱平面，為等腰直角三角形，，且分別是的中點.

（1）求證：平面；
（2）求銳二面角的余弦值.

Answer 1

（1）詳見解析，（2）

試題分析：（1）要證明平面，需證明及，前面在平面中證明，利用勾股定理，即通過計算設，則.∴，∴.后者通過線面垂直與線線垂直的轉化得，即由面面，得面，再得。（2）求二面角的余弦值，可通過作、證、算，本題可過作,則為所求二面角的平面角.也可利用空間向量求，先建系，求出平面及平面的法向量，利用向量數量積求出兩法向量的夾角，最后根據二面角與向量夾角關系得出結論.
試題解析：（1）連結，∵是等腰直角三角形斜邊的中點，∴.
又三棱柱為直三棱柱，
∴面面，
∴面，.     2分
設，則.
∴，∴.           4分
又，∴ 平面.          6分
（2）以為坐標原點，分別為軸建立直角坐標系如圖，設，

則，
，.          8分
由（1）知，平面，
∴可取平面的法向量.
設平面的法向量為，
由
∴可取.          10分
設銳二面角的大小為，
則.
∴所求銳二面角的余弦值為.          12分