Question

【題目】設等差數列滿足，，

（1）求數列的通項公式；

（2）求的最大項的值；

（3）數列滿足，問是否存在正整數k，使得成等差數列？若存在，求出k和m的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）最大項的值為1（3）不存在，詳見解析

【解析】

（1）根據題意，設等差數列{an}的公差為d，首項為a1，由條件列得方程組，解可得d與a1，由等差數列通項公式可得答案；

（2）直接利用的單調性，即可得出．

（3）結合（1）知．要使b1，b2，bm成等差數列，可得2b2＝b1+bm，代入化簡運算即可得出．

（1）設等差數列的首項為，公差為d，

由題意得，解得，

數列的通項公式；

（2）令，

當時，且隨n的增大而增大，即有；當時，；

所以的最大項的值為1；

（3）假設存在正整數，使得成等差數列，

由得，從而，，由得，，

所以，兩邊取倒數整理得：，

所以，即，

因為k、m均為正整數，

所以，不能得出為整數，故無符合題意的解，

所以不存在正整數k，使得成等差數列.