Question

【題目】設函數f（x）=ax﹣（1+a2）x2 ， 其中a＞0，區間I={x|f（x）＞0}
（1）求I的長度（注：區間（a，β）的長度定義為β﹣α）；
（2）給定常數k∈（0，1），當1﹣k≤a≤1+k時，求I長度的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為方程ax﹣（1+a2）x2=0（a＞0）有兩個實根x1=0， ＞0，

故f（x）＞0的解集為{x|x1＜x＜x2}，

因此區間I=（0， ），區間長度為 ；

（2）解：設d（a）= ，則d′（a）= ，

令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1，

故當1﹣k≤a＜1時，d′（a）＞0，d（a）單調遞增；當1＜a≤1+k時，d′（a）＜0，d（a）單調遞減，

因此當1﹣k≤a≤1+k時，d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k處取得，

而 = ＜1，故d（1﹣k）＜d（1+k），

因此當a=1﹣k時，d（a）在區間[1﹣k，1+k]上取得最小值 ，即I長度的最小值為 ．

【解析】（1）解不等式f（x）＞0可得區間I，由區間長度定義可得I的長度；（2）由（1）構造函數d（a）= ，利用導數可判斷d（a）的單調性，由單調性可判斷d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k處取得，通過作商比較可得答案．
【考點精析】本題主要考查了基本求導法則和解一元二次不等式的相關知識點，需要掌握若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導；求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項前的系數為正數;二判：判斷對應方程的根;三求：求對應方程的根;四畫：畫出對應函數的圖象;五解集：根據圖象寫出不等式的解集;規律：當二次項系數為正時，小于取中間，大于取兩邊才能正確解答此題．