Question

【題目】已知橢圓的長軸長為6，離心率為 ，F(xiàn)2為橢圓的右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）點(diǎn)M在圓x2+y2=8上，且M在第一象限，過M作圓x2+y2=8的切線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，判斷△PF2Q的周長是否為定值并說明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）根據(jù)已知，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ， ∴2a=6，a=3， ，c=1；
b2=a2﹣c2=8，

（II）△PF2Q的周長是定值，
設(shè)P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），則 ，
，
∵0＜x1＜3，
∴ ，
在圓中，M是切點(diǎn)，
∴ ，
∴ ，
同理|QF2|+|QM|=3，
∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6，
因此△PF2Q的周長是定值6
【解析】（Ⅰ）由題意可知：2a=6， ，求得a和c的值，由b2=a2﹣c2 ， 求得b，寫出橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），分別求出|F2P|，|F2Q|，結(jié)合相切的條件可得|PM|2=|OP|2﹣|OM|2 ， 可得 ，同理|QF2|+|QM|=3，即可證明；