Question

【題目】已知函數f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x.

(1)當a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；

(2)當a>0時，若f(x)在區間[1，e]上的最小值為－2，求a的取值范圍；

(3)若對任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1<x2，且f(x1)＋2x1<f(x2)＋2x2恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝－2.

（2）[1，＋∞)

（3）[0,8]

【解析】(1)當a＝1時，f(x)＝x2－3x＋ln x，f′(x)＝2x－3＋.

因為f′(1)＝0，f(1)＝－2.

所以切線方程是y＝－2.

(2)函數f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x的定義域是(0，＋∞)．

當a>0時，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋＝ (x>0)，

令f′(x)＝0，即f′(x)＝

＝＝0，

所以x＝或x＝.

當0<≤1，即a≥1時，f(x)在[1，e]上單調遞增，

所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(1)＝－2；

當1<<e時，f(x)在[1，e]上的最小值是f<f(1)＝－2，不合題意；

當≥e時，f(x)在(1，e)上單調遞減，

所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(e)<f(1)＝－2，不合題意．

綜上a的取值范圍是[1，＋∞)．

(3)設g(x)＝f(x)＋2x，則g(x)＝ax2－ax＋ln x，

只要g(x)在(0，＋∞)上單調遞增即可．

而g′(x)＝2ax－a＋＝，

當a＝0時，g′(x)＝>0，此時g(x)在(0，＋∞)上單調遞增；

當a≠0時，只需g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，因為x∈(0，＋∞)，只要2ax2－ax＋1≥0，則需要a>0，

對于函數y＝2ax2－ax＋1，過定點(0,1)，對稱軸x＝>0，只需Δ＝a2－8a≤0，

即0<a≤8.

綜上a的取值范圍是[0,8]．