Question

在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC=AD=CD=DE=2，AB=1．
（1）請在線段CE上找到點F的位置，使得恰有直線BF∥平面ACD，并證明這一事實；
（2）求多面體ABCDE的體積；
（3）求直線EC與平面ABED所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）因為AB、DE均垂直于底面，可以斷定兩線段平行，且AB=

1

2

DE，可設(shè)想取CE、CD的中點，這樣可證得BF平行于平面ACD內(nèi)的直線，從而證得BF平行于平面ACD；
（2）多面體實則是以C為頂點的四棱錐，底面ABED面積易求，可取AD的中點，于C連接后能證明為四棱錐的高，從而可求四棱錐的體積；
（3）連接E與AD的中點，則CE與平面ABED所成的角得到，在直角三角形中直接求其正弦值．

解答：解：如圖，（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥ED，
設(shè)F為線段CE的中點，H是線段CD的中點，
連接FH，則FH∥

1

2

ED，且FH=

1

2

ED．
∴FH∥=AB，
∴四邊形ABFH是平行四邊形，∴BF∥AH，
由BF?平面ACD內(nèi)，AH?平面ACD，∴BF∥平面ACD；
（2）取AD中點G，連接CG，CG⊥AD．
∵AB⊥平面ACD，∴CG⊥AB
又CG⊥AD，AB∩AD=A，∴CG⊥平面ABED，即CG為四棱錐C-ABED的高，
在等邊三角形ACD中，CG=

22-12

=

3

．
SABED=

1

2

(1+2)×2=3．
∴V_C-ABED=

1

3

S_△AED•

3

=

1

3

×3×

3

=

3

．
（3）連接EG，由（2）有CG⊥平面ABED，
∴∠CEG即為直線CE與平面ABED所成的角，設(shè)為α，
又在等腰直角三角形CDE中，CE=

2

DE=2

2

，
則在Rt△CEG中，有sinα=

CG

CE

=

3

2 2

=

6

4

．

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查線面角，考查數(shù)形結(jié)合與數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，屬中檔題．