Question

【題目】如（1）圖所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中點，O是AC與BE的交點．將△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如圖（2）所示．

（1）證明：CD⊥平面A1OC；

（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC與平面A1CD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）要證明直線與平面垂直，在直角梯形中易得，因此只要能證與此平面垂直即可，而同樣在梯形中，折疊時，垂直保持不變，因此易得垂直結論；（2）由已知平面A1BE⊥平面BCDE，則可以以O為原點，OB，OC，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，從而寫出各點坐標，求出平面和平面的法向量，由法向量的夾角得二面角．

試題解析：（1）證明：在圖（1）中，

因為AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中點，

，所以BE⊥AC，BE∥CD.

即在圖（2）中，BE⊥OA1，BE⊥OC，

又OA1∩OC＝O，OA1平面A1OC，OC平面A1OC，

從而BE⊥平面A1OC.

又CD∥BE，

所以CD⊥平面A1OC.

（2）由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，

又由（1）知，BE⊥OA1，BE⊥OC，

所以∠A1OC為二面角A1BE C的平面角，

所以

如圖，以O為原點，OB，OC，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，

因為A1B＝A1E＝BC＝ED＝1，BC∥ED，

所以 ，，

得，

設平面A1BC的法向量n1＝（x1，y1，z1），平面A1CD的法向量n2＝（x2，y2，z2），平面A1BC與平面A1CD的夾角為θ，

則得取n1＝（1，1，1）；

得取n2＝（0，1，1），

從而

即平面A1BC與平面A1CD所成銳二面角的余弦值為