Question

【題目】如圖，三棱錐中，側面是邊長為的正三角形，，平面平面，把平面沿旋轉至平面的位置，記點旋轉后對應的點為（不在平面內），、分別是、的中點.

（1）求證：；

（2）求三棱錐的體積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接、，利用面面垂直的性質定理得出平面，可得出，利用勾股定理計算出，推導出是以為直角的直角三角形，再由中位線的性質得出，由此可得出；

（2）由的面積為定值，可知當平面平面時，三棱錐的體積最大，連接、，推導出平面，計算出、以及的面積，然后利用錐體的體積公式可求得結果.

（1）如圖，連接、，

因為，是的中點，所以，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面，平面，所以．

因為為邊長為的正三角形，所以，

又，所以由勾股定理可得，

又，，，

，則，，

所以為直角三角形，且，

又、分別是、的中點，所以，所以；

（2）如圖，連接、，

因為三棱錐與三棱錐為同一個三棱錐，且的面積為定值，

所以當三棱錐的體積最大時，則平面平面，

，則，為的中點，則，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

此時點到平面的距離為，

在中，因為，，所以，

所以的最大值為，

所以三棱錐的體積的最大值為．