Question

【題目】已知正項數列{an}的前n項和為Sn ， 且2Sn=（an﹣1）（an+2），
（1）求數列{an}的通項公式
（2）設數列{ }的前n項和為Tn ， 試比較Tn與 的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1時，2a1=2S1=（a1﹣1）（a1+2），

∵a1＞0，∴a1=2．

n=2時，2S2=（a2﹣1）（a2+2）=2（2+a2），

解得a2=3．

當n≥2時，2an=2（Sn﹣Sn﹣1）=an2﹣an﹣12+an﹣an﹣1，

∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，

∵an+an﹣1＞0，∴an﹣an﹣1=1，

∴數列{an}是以2為首項，1為公差的等差數列，

∴an=n+1；

（2）解：∵ = = ﹣ ，

∴Tn= ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = ﹣2，

Tn﹣ = ﹣2﹣

= ，

當n＜17且n為正整數時，

＜0，∴Tn＜ ；

當n=17時，

=0，∴Tn= ；

當n＞17且n為正整數時，

＞0，∴Tn＞ ．

【解析】（1）運用數列的遞推式：當n=1時，a1=S1 ， 當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1 ． 可得an=n+1；（2）求得 = = ﹣ ，運用裂項相消求和可得Tn ， 再由作差法，討論n的范圍，即可得到大小關系．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．