Question

已知四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，G，H分別是CE，CF的中點．

(1)求證：平面AEF∥平面BDGH
(2)若平面BDGH與平面ABCD所成的角為60°，求直線CF與平面BDGH所成的角的正弦值．

Answer 1

（1）見解析（2）

(1)G，H分別為CE，CF的中點，
所以EF∥GH，
連接AC與BD交于O，因為四邊形ABCD是菱形，所以O是AC的中點，
連接OG，OG是三角形ACE的中位線，OG∥AE，
又EF∩AE＝E，GH∩OG＝G，則平面AEF∥平面BDGH，
(2)因為BF⊥BD，平面BDEF⊥平面ABCD，
所以BF⊥平面ABCD，
取EF的中點N，連接ON，則ON∥BF，∴ON⊥平面ABCD，
建立空間直角坐標系如圖所示，設AB＝2，BF＝t，

則B(1,0,0)，C(0，，0)，F(1,0，t)，
H，＝(1,0,0)，＝，
設平面BDGH的法向量為n₁＝(x，y，z)，
取n₁＝(0，－t，)，
平面ABCD的法向量n₂＝(0,0,1)，
|cos〈n₁，n₂〉|＝＝，所以t²＝9，t＝3.
所以＝(1，－，3)，設直線CF與平面BDGH所成的角為θ，
sin θ＝|cos〈，n₁〉|＝＝.