Question

已知對(duì)任意，恒成立（其中），求的最大值.

Answer 1

的最大值為.

試題分析：利用二倍角公式，利用換元法，將原不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式在區(qū)間上恒成立，利用二次函數(shù)的零點(diǎn)分布進(jìn)行討論，從而得出的最大值，但是在對(duì)時(shí)的情況下，主要對(duì)二次函數(shù)的對(duì)稱軸是否在區(qū)間進(jìn)行分類討論，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的條件下，求的最大值，
試題解析：由題意知，
令，，則當(dāng)，恒成立，開(kāi)口向上，
①當(dāng)時(shí)，，不滿足，恒成立，
②當(dāng)時(shí)，則必有     （1）
當(dāng)對(duì)稱軸時(shí)，即，也即時(shí)，有，
則，，則，當(dāng)，時(shí)，.
當(dāng)對(duì)稱軸時(shí)，即，也即時(shí)，
則必有，即，又由（1）知，
則由于，故只需成立即可，
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的條件下，求的最大值，然后利用代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)或從題干中的式子出發(fā)，分別利用三角換元法、導(dǎo)數(shù)法以及柯西不等式法來(lái)求的最大值.
法一：（三角換元）把條件配方得：，
，所以，
；
法二：（導(dǎo)數(shù)）
令 則即求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),橢圓的上半部分

；
法三：（柯西不等式）由柯西不等式可知：

，當(dāng)且僅當(dāng),即及時(shí)等號(hào)成立.即當(dāng)時(shí)，最大值為2.
綜上可知.