Question

【題目】在正整數數列中，由1開始依次按如下規則，將某些整數染成紅色，先染1；再染3個偶數2，4，6；再染6后面最鄰近的5個連續奇數7，9，11，13，15；再染15后面最鄰近的7個連續偶數16，18，20，22，24，26，28；再染此后最鄰近的9個連續奇數29，31，，45；按此規則一直染下去，得到一紅色子數列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，，則在這個紅色子數列中，由1開始的第1000個數是_________

Answer 1

【答案】1968

【解析】

記第次染色的最后一個數字為，由題可得，第次染色共染了個數字，且第次染色的最后一個數字為，求出前次染色數字的個數之和為：，即可判斷第1000個數在第次染色的數字中，求得第次染色的最后一個數字為：，所以第1000個數是第次染色中的第個數偶數，問題得解。

記第一次染色：染1；共1個數，且所染數字都是奇數。

第二次染色：染3個偶數2，4，6；共3個數，且所染數字都是偶數。

第三次染色：染6后面最鄰近的5個連續奇數7，9，11，13，15；共5個數，，且所染數字都是奇數。

第四次染色：染15后面最鄰近的7個連續偶數16，18，20，22，24，26，28；共7個數，且所染數字都是偶數。

則第次染色：共個數字，，且所染數字與的奇偶性相同。

每次染數的個數依次構成一個等差數列，

前次染色數字的個數之和為：

令，則

所以第1000個數字在第次染色的數字中

記第次染色的最后一個數字為，由題可得：，，，，……，依次類推

所以第次染色的最后一個數字為：，且前次染色數字的個數之和為：，

所以第1000個數在第次染色中的第位數字，

即從之后的第個偶數，

所以由1開始的第1000個數是：