Question

已知函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求的極值；
（2）若，使得不等式成立，試求實數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)時，對于，求證：．

Answer 1

(1)當(dāng)時，沒有極值；
當(dāng)時，存在極大值，且當(dāng)時，.
(2).
(3)見解析.

解析試題分析：(1) 首先確定函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)數(shù)．為確定函數(shù)的極值，應(yīng)討論，的不同情況.
(2) 首先求出，將問題轉(zhuǎn)化成，使得成立，
引入，將問題可轉(zhuǎn)化為：
利用導(dǎo)數(shù)求的最大值，得解.
(3)當(dāng)時，，構(gòu)造函數(shù)，即，
應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，得到.
方法比較明確，分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，是解決問題的關(guān)鍵.
試題解析：(1) 函數(shù)的定義域為，．
當(dāng)時，，在上為增函數(shù)，沒有極值；     1分
當(dāng)時，，
若時，；若時，
存在極大值，且當(dāng)時，
綜上可知：當(dāng)時，沒有極值；當(dāng)時，存在極大值，且當(dāng)時，                       4分
(2) 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，
，，              5分
，使得不等式成立，
，使得成立，
令，則問題可轉(zhuǎn)化為：
對于，，由于，
當(dāng)時，，，，
，從而在上為減函數(shù)，
        &nbs