Question

（2010•朝陽區二模）已知函數f（x）=x²-alnx（常數a＞0）．
（Ⅰ）當a=3時，求曲線y=f（x）在點（1，f（x））處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數f（x）在區間（1，e^a）上零點的個數（e為自然對數的底數）．

Answer 1

分析：解：（Ⅰ）先求函數的導函數f'（x），然后求出fˊ（1）即為切線的斜率，根據且點（1，f（1））與斜率可求出切線方程；
（Ⅱ）設g（a）=e^a-a（a≥0），然后利用導數研究函數的單調性可證得e^a＞a（a≥0），求出函數的導函數f′（x），然后利用導數研究函數f（x）在區間（1，e^a）上的最小值，最后討論最小值的符號，從而確定函數f（x）的零點情況．

解答：解：（Ⅰ）當a=3時，f（x）=x²-3lnx，
∴f'（x）=2x-

3

x

（1分）
∴fˊ（1）=-1
又∵f（1）=1，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-1=-（x-1）．
即x+y-2=0．--------------------------------3分
（Ⅱ）（1）下面先證明：e^a＞a（a≥0）．
設g（a）=e^a-a（a≥0），則g′（a）=e^a-1≥e⁰-1=0（a≥0），且僅當g′（a）=0?a=0，
所以g（a）在[0，+∞）上是增函數，故g（a）≥g（0）=1＞0．
所以e^a-a＞0，即e^a＞a（a≥0）．------------------------------5分
（2）因為f（x）=x²-a lnx，
所以f′（x）=2x-

a

x

=

2x2-a

x

=

2(x- 2a 2 )(x+ 2a 2 )

x

．
因為當0＜x＜

2a

2

時，fˊ（x）＜0，當x＞

2a

2

時，1，fˊ（x）＞0．
又

a

2

＜a＜e^a＜e^2a（a≥0，a＜2a）⇒

2a

2

＜e^a，
所以f（x）在（0，

2a

2

]上是減函數，在[

2a

2

，+∞）是增函數．
所以f（x）_min=f（

2a

2

）=

a

2

(1-ln

a

2

)．------------------------------9分
（3）下面討論函數f（x）的零點情況．
①當

a

2

(1-ln

a

2

)＞0，即0＜a＜2e時，函數f（x）在（1，e^a）上無零點；
②當

a

2

(1-ln

a

2

)=0，即a=2e時，

2a

2

=

e

，則1＜

2a

2

＜e^a
而f（1）=1＞0，f（

2a

2

）=0，f（e^a）＞0，
∴f（x）在（1，e^a）上有一個零點；
③當

a

2

(1-ln

a

2

)＜0，即a＞2e時，e^a＞

2a

2

＞

e

＞1，
由于f（1）=1＞0，f（

2a

2

）=

a

2

(1-ln

a

2

)＜0．
f（e^a）=e^2a-a lne^a=e^2a-a²=（e^a-a）（e^a+a）＞0，
所以，函數f（x）在（1，e^a）上有兩個零點．（13分）
綜上所述，f（x）在（1，e^a）上有結論：
當0＜a＜2e時，函數f（x）有、無零點；
a=2e時，函數f（x）有一個零點；
當a＞2e時，函數f（x）有兩個零點．------------------------------14分．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數研究函數在閉區間上的最值，同時考查了分類討論的數學思想和計算能力，屬于中檔題．