Question

（09年湖北五市聯考理）（14分）

已知拋物線的準線方程，與直線在第一象限相交于點，過作的切線，過作的垂線交x軸正半軸于點，過作的平行線交拋物線于第一象限內的點，過作拋物線的切線，過作的垂線交x軸正半軸于點，…，依此類推，在x軸上形成一點列，，，…，，設點的坐標為

   （Ⅰ）試探求關于的遞推關系式；

   （Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求證：．

Answer 1

解析：（I）由題意知：　　　　　　　（１分）

    由題意知聯立得：，.

       　　　（３分）

    切線的斜率為，直線的斜率，

    直線的方程為

    令，得：                          （５分）

    （Ⅱ）由已知易得，直線的斜率，

直線的方程為：令得        　　　      （７分）

      　　　　   （９分）

 

當時 ，即： 

當時，   　　

　　　（11分）

(用數學歸納法證明亦可)

（III）由（II）知：.

.                                                                                                     (14分)