Question

【題目】已知函數f（x）=-sin2x+mcosx-1，x∈[]．

（1）若f（x）的最小值為-4，求m的值；

（2）當m=2時，若對任意x1，x2∈[-]都有|f（x1）-f（x2）|恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

（1）利用函數的公式化簡后換元，轉化為二次函數問題求解最小值，可得的值；

（2）根據恒成立，轉化為函數的最值問題求解；

解：（1）函數f（x）=-sin2x+mcosx-1=cos2x+mcosx-2=（cosx+）2-2-．

當cosx=時，則2+，

解得：m=±

那么cosx=顯然不成立．

x∈[]．

∴≤cosx≤1．

令cosx=t．

∴≤t≤1．

①當＞時，即m＞1，f（x）轉化為g（t）min=（）2-2-=-4

解得：m=4.5，滿足題意；

②當1＜時，即m＜-2，f（x）轉化為g（t）min=（1）2-2-=-4

解得：m=-3，滿足題意；

故得f（x）的最小值為-4，m的值4.5或-3；

（2）當m=2時，f（x）=（cosx+1）2-3，

令cosx=t．

∴≤t≤1．

∴f（x）轉化為h（t）=（t+1）2-3，

其對稱軸t=-1，

∴t∈[，1]上是遞增函數．

h（t）∈[，1]．

對任意x1，x2∈[-]都有|f（x1）-f（x2）|恒成立，

|f（x1）-f（x2）|max=

可得：a≥2．

故得實數a的取值范圍是[2，+∞）．