Question

【題目】 設橢圓的左焦點為，左頂點為，頂點為B.已知（為原點）.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）設經過點且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點為，圓同時與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.

Answer 1

【答案】（I）首先設橢圓的半焦距為，根據題意得到，結合橢圓中的關系，得到，化簡得出，從而求得其離心率；

（II）結合（I）的結論，設出橢圓的方程，寫出直線的方程，兩個方程聯立，求得交點的坐標，利用直線與圓相切的條件，列出等量關系式，求得，從而得到橢圓的方程.

【解析】

（I）；

（II）.

（I）解：設橢圓的半焦距為，由已知有，

又由，消去得，解得，

所以，橢圓的離心率為.

（II）解：由（I）知，，故橢圓方程為，

由題意，，則直線的方程為，

點的坐標滿足，消去并化簡，得到，

解得，

代入到的方程，解得，

因為點在軸的上方，所以，

由圓心在直線上，可設，因為，

且由（I）知，故，解得，

因為圓與軸相切，所以圓的半徑為2，

又由圓與相切，得，解得，

所以橢圓的方程為：.