Question

解方程組

y2-4x-2y+1=0…① y=x+a…②

并討論a取哪些實數時，方程組
（1）有不同的兩實數解；
（2）有相同的兩實數解；
（3）沒有實數解．

Answer 1

分析：（1）將第二個方程代入第一個方程得到關于y的二次方程，利用二次方程的求根公式求出兩個根，將求出的根代入第二個方程求出方程組的解．
（2）由（1）當通過代入消元得到的二次方程有兩個不等實根即判別式大于0時，方程組有兩個實數解；當判別式等于0時，方程組有相等的兩實數解；
（3）當判別式小于0時，方程組無解．

解答：解：由②得x=y-a③
將③代入①得y²-4（（y-a）-2y+1=0，
y²-6y（4a+1）=0，
y=

6± 36-4(4a+1)

2

=3±2

2-a

，
x=3±2

2-a

-a．
即方程組的解為

x1=3+2 2-a -a y1=3+2 2-a ：

x2=3-2 2-a -a y2=3+-2 2-a

即：（1）當2-a＞0，即a＜2時，方程組有不同的兩實數解；
（2）當2-a=0，即a=2時，方程組有相同的兩實數解；
（3）當2-a＜0，即a＞2時，方程組沒有實數解．

點評：本題考查代入消元求方程組組的解的方法、考查將方程組的解的問題轉化為二次方程解的問題．