Question

【題目】已知橢圓E的中心在原點，焦點在x軸，焦距為2，且長軸長是短軸長的倍．

(Ⅰ)求橢圓E的標準方程；

(Ⅱ)設P(2，0)，過橢圓E左焦點F的直線l交E于A、B兩點，若對滿足條件的任意直線l，不等式 ≤λ(λ∈R)恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ＋y2＝1(Ⅱ)

【解析】試題分析：（1）設橢圓方程，由a=b，a2=b2+1，即可求得a和b的值，求得橢圓方程的標準方程；

（2）由向量數量積的坐標運算求得，當直線l不垂直于x軸時，設直線l的方程，代入橢圓方程，由韋達定理，及函數的最值即可求得的最小值，即可求得λ的最小值．

試題解析：

(Ⅰ)依題意，a＝b，c＝1，

解得a2＝2，b2＝1，∴橢圓E的標準方程為＋y2＝1.

(Ⅱ)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

則·＝(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2，

當直線l垂直于x軸時，x1＝x2＝－1，y1＝－y2且y＝，

此時＝(－3，y1)，＝(－3，y2)＝(－3，－y1)，

所以·＝(－3)2－y＝；

當直線l不垂直于x軸時，設直線l：y＝k(x＋1)，

由整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，

所以·＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋k2(x1＋1)(x2＋1)

＝(1＋k2)x1x2＋(k2－2)(x1＋x2)＋4＋k2＝(1＋k2)·－(k2－2)·＋4＋k2

＝＝－<.

要使不等式·≤λ(λ∈R)恒成立，只需λ≥(·)max＝，即λ的最小值為.