Question

【題目】已知中心在原點的橢圓的兩個焦點和橢圓的兩個焦點是一個正方形的四個頂點，且橢圓過點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知是橢圓上的任意一點，，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）時，時，，時，．

【解析】

試題分析：（1）由已知橢圓，求得相應的焦點坐標，得出所求橢圓的焦點坐標，設出橢圓的方程，根據橢圓的定義，求解的值，即求解橢圓的方程；（2）設，得到，且，設，即可利用函數的性質，求解的最小值．

試題解析：（1）由已知橢圓，相應的焦點分別為，則橢圓的焦點分別為，設橢圓的方程為，

∵，

∴，∴，

∴橢圓的方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）設，則，

，

令，∵，

∴時，；時，；

時，．綜上所述：時， 時，；時，．．．．．．．．．．．．．．．6分