Question

如圖，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分別為AE、AB的中點．
（I）證明：PQ∥平面ACD；
（II）求異面直線AE與BC所成角的余弦值；
（III）求平面ACD與平面ABE所成銳二面角的大小．

Answer 1

分析：（I）由已知中P、Q分別是AE、AB的中點，由三角形中位線定理可得PQ∥BE，結合EB∥DC，我們易得PQ∥DC，由線面平行的判定定理，易得PQ∥平面ACD；
（II）取BE的中點F，連接QF，DF，DQ，則∠DFQ就是異面直線AE與BC所成的角，解三角形DFQ，即可求出異面直線AE與BC所成角的余弦值；
（III）由線面平行的性質定理可得平面ACD與平面ABE的交線與DC平行，則∠CAB就是平面ACD與平面ABE所成銳二面角的平面角，解三角形ABC即可得到平面ACD與平面ABE所成銳二面角的大小．

解答：證明：（I）由已知：P、Q分別是AE、AB的中點，
所以，PQ∥BE，PQ=

1

2

BE，
又DC∥BE，DC=

1

2

BE
所以，PQ∥DC
所以，PQ∥平面ACD   …（4分）
解：（II）取BE的中點F，連接QF，DF，DQ
FQ∥AE，DF∥BC
∴∠DFQ就是異面直線AE與BC所成的角
易知CQ=1，AB=2

3

，AE=4，QF=2，DF=BC=2，DQ=

2

由余弦定理：可得cos∠DFQ=

3

4

…(8分)
（III）由線面平行的性質定理可得
平面ACD與平面ABE的交線與DC平行
∴∠CAB就是平面ACD與平面ABE所成銳二面角的平面角
在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，
∴∠CAB=30°…（12分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，異面直線及其所成的角，直線與平面平行的判定，其中（I）的關鍵是證得PQ∥DC，（II）的關鍵是構造異面直線AE與BC所成的角∠DFQ，（III）的關鍵是證得CAB就是平面ACD與平面ABE所成銳二面角的平面角．