Question

如圖，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分別為AE，AB的中點．
（I）證明：PQ∥平面ACD；
（II）證明：平面ADE⊥平面ABE；
（Ⅲ）求AD與平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）連接DP，CQ，利用題設條件推導出PQ

∥

.

DC，由此能夠證明PQ∥平面ACD．
（II）在△ABC中，由AC=BC=2，AQ=BQ，知CQ⊥AB，由DC⊥平面ABC，EB∥DC，知EB⊥平面ABC，由此能夠證明平面ADE⊥平面ABE．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知四邊形DCQP是平行四邊形，所以DP⊥平面ABE，由直線AD在平面ABE內的射影是AP，知直線AD與平面ABE所成角是∠DAP，由此能求出AD與平面ABE所成角的正弦值．

解答： 解：（I）證明：連接DP，CQ，在△ABE中，
∵P，Q分別是AE，AB的中點，∴PQ

∥

.

1

2

BE，
∵EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∴PQ

∥

.

DC，
∵PQ?平面ACD，DC?平面ACD，
∴PQ∥平面ACD．
（II）在△ABC中，AC=BC=2，AQ=BQ，
∴CQ⊥AB，
∵DC⊥平面ABC，EB∥DC，∴EB⊥平面ABC，
∴EB⊥CQ，∴EB⊥平面ABC．
∴EB⊥CQ，∴CQ⊥平面ABE，
∵CQ∥DP，∴DP⊥平面ABE，
∵DP?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面ABE．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知四邊形DCQP是平行四邊形，
∴DP∥CQ，
∴DP⊥平面ABE，
∴直線AD在平面ABE內的射影是AP，
所以直線AD與平面ABE所成角是∠DAP
在Rt△APD中，AD=

AC2+DC2

=

22+12

=

5

，
DP=CQ=2sin∠CAQ=1，
∴sin∠DAP=

DP

AD

=

1

5

=

5

5

．
故AD與平面ABE所成角的正弦值為

5

5

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法．解題時要認真審題，合理地化空間問題為平面問題，注意空間思維能力和推理能力的培養．