Question

【題目】已知函數f（x）=（x﹣2）ex﹣ x2 ， 其中a∈R，e為自然對數的底數
（Ⅰ）函數f（x）的圖象能否與x軸相切？若能與x軸相切，求實數a的值；否則，請說明理由；
（Ⅱ）若函數y=f（x）+2x在R上單調遞增，求實數a能取到的最大整數值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=（x﹣2）ex﹣ x2，

∴f′（x）=（x﹣1）ex﹣ax，

假設函數f（x）的圖象與x軸相切于點（t，0），

則有： ，即 ，

由②知at=（t﹣1）et，代入①中，得（t﹣2）et﹣ =0，

∵et＞0，∴（t﹣2）﹣ =0，即t2﹣3t+4=0，

∵△=9﹣16=﹣7＜0，

∴方程t2﹣3t+4=0無解，

∴無論a取何值，函數f（x）的圖象都不與x軸相切．

（Ⅱ）記g（x）=（x﹣2）ex﹣ +2≥0在R上恒成立，由g′（1）=﹣a+2≥0，得g′（x）≥0的必要條件是a≤2，

若a=2，則g′（x）=（x﹣1）ex﹣2x+2=（x﹣1）（ex﹣2），當ln2＜x＜1時，g′（x）＜0，故a＜2．

下面證明：當a=1時，不等式（x﹣1）ex﹣x+2≥0恒成立．

令h（x）=（x﹣1）ex﹣x+2，則h′（x）=xex﹣1，記H（x）=xex﹣1，則H′（x）=（x+1）ex，

當x＞﹣1時，H′（x）＞0，H（x）單調遞增且H（x）＞﹣ ，當x＜﹣1時，H′（x）＜0，H（x）單調遞減，且﹣ H（x）＜0，

∵H（ ）= ﹣1＜0，H（1）=e﹣1＞0，∴存在唯一的 ，使得H（x0）=0，且當x∈（﹣∞，x0）時，H（x）＞0，

h（x）單調遞減，

當x∈（x0，+∞）時，H（x）＜0，h（x）單調遞增，

∴h（x）min=h（x0）=（x0﹣1） ﹣x0+2，∵H（x0）=0，∴ ，

∴h（x0）=（x0﹣1） =3﹣（ ），∵ ，∴2＜ ＜ ，∴h（x）min=h（x0）＞0，

∴（x﹣1）ex﹣x﹣2≥0恒成立，

∴a能取得的最大整數為1．

【解析】1、由題意可得f′（x）=（x﹣1）ex﹣ax，假設函數f（x）的圖象與x軸相切于點（t，0）則有,無論a取何值，函數f（x）的圖象都不與x軸相切.
2、由g′（1）=﹣a+2≥0，得g′（x）≥0的必要條件是a≤2，若a=2，則g′（x）=（x﹣1）ex﹣2x+2=（x﹣1）（ex﹣2），當ln2＜x＜1時，g′（x）＜0，故a＜2．當a=1時，不等式（x﹣1）ex﹣x+2≥0恒成立，由題意得證h（x）單調遞減，當x∈（x0，+∞）時，H（x）＜0，h（x）單調遞增，∴h（x）min=h（x0）=（x0﹣1） e x0﹣x0+2，∵H（x0）=0，∴（x﹣1）ex﹣x﹣2≥0恒成立，∴a能取得的最大整數為1．