Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=AB=BC=1， ，平面ACFE⊥平面ABCD，四邊形ACFE是矩形，AE=1，點M在線段EF上．
（1）當 為何值時，AM∥平面BDF？證明你的結論；
（2）求二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當 時，AM∥平面BDF．

證明如下：

在梯形ABCD中，設AC∩BD=O，連接FO，

因為AD=BC=1，∠ADC=60°，

所以DC=2，又AB=1，

因為△AOB∽△CDO，

因此CO：AO=2：1，

所以 ，因為ACFE是矩形，

所以四邊形AOFM是平行四邊形，

所以AM∥OF，

又OF平面BDF，AM平面BDF，

所以AM∥平面BDF

（2）解：在平面ABCD內過點C作GC⊥CD，

因為平面ACFE⊥平面ABCD，且交線為AC，

則CF⊥平面ABCD，即CF⊥GC，CF⊥DC，

以點C為原點，分別以CD，CG，CF所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

則 ，D（2，0，0）， ，F（0，0，1），

所以 ， ， ， ，

設平面BEF的法向量為 ，則 ，

∴ ，取 ，

同理可得平面DEF的法向量 ，

所以 ，

因為二面角B﹣EF﹣D是銳角，所以其余弦值是 ．

【解析】（1）當 時，設AC∩BD=O，連接FO，推導出四邊形AOFM是平行四邊形，從而AM∥OF，由此能證明AM∥平面BDF．（2）在平面ABCD內過點C作GC⊥CD，以點C為原點，分別以CD，CG，CF所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B﹣EF﹣D的余弦值．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．