Question

（本小題滿分12分）
如圖，在三棱柱中，所有的棱長都為2，.
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）當三棱柱的體積最大時，求平面與平面所成的銳角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）略（Ⅱ）

（Ⅰ）證明：取的中點，連接，
在三棱柱中，所有棱長都為2，
則，所以平面
而平面，故
（Ⅱ）當三棱柱的體積最大時，點到平面的距離最大，此時平面.設平面與平面的交線為，
在三棱柱中，，平面，則，
過點作交于點，連接.由，知平面，
則，故為平面與平面所成二面角的平面角。
在中，,則
在中，，,
即平面與平面所成銳角的余弦值為。
方法2：當三棱柱的體積最大時，點到平面的距離最大，此時平面.以所在的直線分別為軸，建立直角坐標系，依題意得.
由得，設平面的一個法向量為
而，則，取
而平面，則平面的一個法向量為
于是，
故平面與平面所成銳角的余弦值為。