Question

如圖所示，在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H分別是BC、CC₁、C₁D₁、A₁A的中點.求證：
（1）BF∥HD₁；
（2）EG∥平面BB₁D₁D；
（3）平面BDF∥平面B₁D₁H.

Answer 1

證明略

 （1）如圖所示，取BB₁的中點M，易證四邊形HMC₁D₁是平行四邊形，∴HD₁∥MC₁.

又∵MC₁∥BF，∴BF∥HD₁.
（2）取BD的中點O，連接EO，D₁O，
則OE  DC，
又D₁G DC，∴OE? D₁G，
∴四邊形OEGD₁是平行四邊形，
∴GE∥D₁O.
又D₁O平面BB₁D₁D，∴EG∥平面BB₁D₁D.
（3）由（1）知D₁H∥BF，又BD∥B₁D₁，B₁D₁、HD₁平面HB₁D₁，BF、BD平面BDF，且B₁D₁∩HD₁=D₁，
DB∩BF=B，∴平面BDF∥平面B₁D₁H.