Question

【題目】為了解一種植物的生長情況，抽取一批該植物樣本測量高度(單位：cm)，其頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求該植物樣本高度的平均數x和樣本方差s2(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)；

(2)假設該植物的高度Z服從正態分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數x，σ2近似為樣本方差s2，利用該正態分布求P(64.5＜Z＜96)．

(附：＝10.5.若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.954 4)

Answer 1

【答案】(1)75,110.

(2)0.8185.

【解析】

（1）根據頻率分布直方圖，每個矩形的中點橫坐標與該矩形的縱坐標相乘后求和，即可得到數據的平均數，利用方差公式可得方差；（2）根據正態分布各區間的概率的對稱性，可計算出的值.

(1)x＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.35＋85×0.3＋95×0.05＝75，

s2＝(55－75)2×0.1＋(65－75)2×0.2＋(75－75)2×0.35＋(85－75)2×0.3＋(95－75)2×0.05＝110.

(2)由(1)知，Z～N(75，110)，

從而P(64.5＜Z＜75)＝×P(75－10.5＜Z＜75＋10.5)＝×0.682 6＝0.341 3，

P(75＜Z＜96)＝×P(75－2×10.5＜Z＜75＋2×10.5)＝×0.954 4＝0.477 2，

所以P(64.5＜Z＜96)＝P(64.5＜Z＜75)＋P(75＜Z＜96)＝0.341 3＋0.477 2＝0.818 5.