Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6．D、E分別是AC、AB上的點，且DE∥BC，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁D⊥CD，如圖2．
（1）求證：BC∥平面A₁DE；
（2）求證：BC⊥平面A₁DC；
（3）當D點在何處時，A₁B的長度最小，并求出最小值．

Answer 1

（本小題共14分）
（1）證明：∵DE∥BC，DE?面A₁DE，BC?面A₁DE
∴BC∥面A₁DE…（4分）
（2）證明：在△ABC中，∠C=90°，DE∥BC，
∴AD⊥DE∴A₁D⊥DE．
又A₁D⊥CD，CD∩DE=D，∴A₁D⊥面BCDE．
由BC?面BCDE，
∴A₁D⊥BC．BC⊥CD，A₁D∩CD=D，
∴BC⊥面A₁DC．…（9分）
（3）設DC=x則A₁D=6-x由（Ⅱ）知，△A₁CB，△A₁DC均為直角三角形．
A1B=

A1C2+BC2

=

A1D2+DC2+BC2

，即A1B=

x2+32+(6-x)2

=

2x2-12x+45

=

2(x-3)2+27

…（12分）
當x=3時，A₁B的最小值是3

3

．
即當D為AC中點時，A₁B的長度最小，最小值為3

3

．…（14分）