Question

已知曲線：.
（Ⅰ）當時，求曲線的斜率為1的切線方程；
（Ⅱ）設斜率為的兩條直線與曲線相切于兩點，求證：中點在曲線上；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，又已知直線的方程為：，求的值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ）當時,先求導，通過斜率為1得到切點.然后利用點斜式得到所求切線方程；（Ⅱ）先將兩點的坐標設出，其中縱坐標用相應點的橫坐標表示.再由導數的幾何意義，得到兩點橫坐標滿足.從而得到中點，又中點在曲線上 ，顯然成立．得證；（Ⅲ）由中點在直線，又在曲線，從而得，再反代如直線與曲線聯立得方程，得到兩點的坐標，代入導函數中得到斜率，從而得到.
試題解析：（Ⅰ）當時，，
設切點為，由，切點為
故為所求．                (4分)
（Ⅱ），設，
由導數的幾何意義有


中點，即，
又中點在曲線上 ，顯然成立．得證．     (8分)
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，中點的橫坐標為，且在上，，
又在曲線上，，
所以．
由，
 
由于，
故．
綜上，為所求．                                  (13分)