Question

【題目】設數列{an}的前n和為Sn ， a1=1，Sn=nan﹣2n2+2n（n∈N*）．
（1）求證：數列{an}為等差數列，并分別寫出an和Sn關于n的表達式；
（2）是否存在自然數n，使得S1+ + +…+ +2n=1124？若存在，求出n的值； 若不存在，請說明理由；
（3）設cn= （n∈N*），Tn=c1+c2+c3+…+cn（n∈N*），若不等式Tn＞ （m∈Z），對n∈N*恒成立，求m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由 ，得 ，

相減得an=nan﹣（n﹣1）an﹣1﹣4n+4（n﹣1）an﹣（n﹣1）an﹣1=4（n﹣1）an﹣an﹣1=4（n≥2）．

故數列{an}是首項為1，公差為4的等差數列．∴an=1+4（n﹣1）=4n﹣3．Sn= =2n2﹣n．

（2）解：由（1）可得： =2n﹣1．

∴ ，

由n2+2n=1124，得n=10，即存在滿足條件的自然數n=10

（3）解： = ，

∵ ，

∴Tn＜Tn+1，即Tn單調遞增，故 要使 恒成立，只需 成立，即m＜8（m∈Z）．

故符合條件m的最大值為7

【解析】（1）由 ，利用遞推關系an= 可得an﹣an﹣1=4（n≥2）．利用等差數列的通項公式與求和公式即可得出：an ， Sn ． （2）由（1）可得： =2n﹣1．利用等差數列的求和公式即可得出．（3）利用“裂項求和方法”、數列的單調性即可得出．
【考點精析】掌握數列的前n項和和數列的通項公式是解答本題的根本，需要知道數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．