Question

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C₁：＝1(a>b>0)的左焦點為F₁(－1，0)，且點P(0，1)在C₁上．
(1)求橢圓C₁的方程；
(2)設直線l同時與橢圓C₁和拋物線C₂：y²＝4x相切，求直線l的方程．

Answer 1

(1)＋y²＝1； (2)y＝x＋或y＝－x－.

解析試題分析：(1)由于橢圓的方程是標準方程，知其中心在坐標原點，對稱軸就是兩坐標軸，所以由已知可直接得到半焦距c及短半軸b的值，然后由 求得的值，進而就可寫出橢圓的方程；(2)由已知得，直線l的斜率顯然存在且不等于0，故可設直線l的方程為y＝kx＋m，然后聯立直線方程與橢圓C₁的方程，消去y得到關于x的一個一元二次方程，由直線l同時與橢圓C₁相切知，其判別式等于零得到一個關于k,m的方程；再聯立直線l與拋物線C₂的方程，消去y得到關于x的一個一元二次方程，由直線l同時與拋物線C₂相切知，其判別式又等于零，再得到一個關于k,m的方程；和前一個方程聯立就可求出k,m的值，從而求得直線l的方程．
試題解析：(1)因為橢圓C₁的左焦點為F₁(－1，0)，
所以c＝1.將點P(0，1)代入橢圓方程＝1，
得＝1，即b＝1. 所以a²＝b²＋c²＝2.
所以橢圓C₁的方程為＋y²＝1.
(2)由題意可知，直線l的斜率顯然存在且不等于0，設直線l的方程為y＝kx＋m，由消去y并整理得(1＋2k²)x²＋4kmx＋2m²－2＝0.
因為直線l與橢圓C₁相切，
所以Δ₁＝16k²m²－4(1＋2k²)(2m²－2)＝0.
整理，得2k²－m²＋1＝0，                                   ①
由消y，得
k²x²＋(2km－4)x＋m²＝0.
∵直線l與拋物線C₂相切，
∴Δ₂＝(2km－4)²－4k²m²＝0，整理，得km＝1，                    ②
聯立①、②，得或
∴l的方程為y＝x＋或y＝－x－.
考點：１．橢圓的方程；２．直線與圓錐曲線的位置關系．