Question

【題目】已知等比數列{an}的前n項和為Sn ， 公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設bn= ，Tn為{bn}的前n項和，求T2n ．

Answer 1

【答案】解：（I）∵等比數列{an}的前n項和為Sn ， 公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2． ∴a3=a4﹣2a2 ， 可得a2q=a2（q2﹣2），
∴q2﹣q﹣2=0，解得q=2．∴a1+a2=2a2﹣2，即a1=a2﹣2=2a1﹣2，解得a1=2．
∴an=2n ．
（II）n為奇數時，bn= = = ．
n為偶數時，bn= ．
∴T2n= + +…+ + +…+
= + +…+
= + +…+ ．
設A= +…+ ，
則 A= +…+ + ，
∴ A= +…+ ﹣ = ﹣ ，
∴A= ﹣ ．
∴T2n= + ﹣ ．
【解析】（I）等比數列{an}的前n項和為Sn ， 公比q＞0，S2=2a2﹣2，S3=a4﹣2．可得a3=a4﹣2a2 ， a2q=a2（q2﹣2），解得q．進而得出a1 ， 可得an ． （II）n為奇數時，bn= = = ．n為偶數時，bn= ．分組求和，利用“裂項求和”方法可得奇數項之和；利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式可得偶數項之和．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．