Question

已知（

x

-

1

2 4 x

）ⁿ的展開式中，前三項系數的絕對值依次成等差數列．
（1）證明：展開式中沒有常數項；
（2）求展開式中所有有理項．

Answer 1

分析：（1）利用二項展開式的通項公式求出前三項的系數，列出方程求出n，再利用二項展開式的通項公式求出通項，令x的指數為0得到常數項，方程無解，得證．
（2）令展開式中的x的指數為有理數，求出k值，再求出相應的有理項．

解答：解：依題意，前三項系數的絕對值是1，C¹_n（

1

2

），C²_n（

1

2

）²，
且2C¹_n•

1

2

=1+C²_n（

1

2

）²，
即n²-9n+8=0，∴n=8（n=1舍去），
∴展開式的第k+1項為C^k₈（

x

）^8-k（-

1

2 4 x

）^k
=（-

1

2

）^kC^k₈•x

8-k

2

•x-

k

4

=（-1）^k•C^k₈•x

16-3k

4

．
（1）證明：若第k+1項為常數項，
當且僅當

16-3k

4

=0，即3k=16，
∵k∈Z，∴這不可能，∴展開式中沒有常數項．
（2）若第k+1項為有理項，當且僅當

16-3k

4

為整數，
∵0≤k≤8，k∈Z，∴k=0，4，8，
即展開式中的有理項共有三項，它們是：
T₁=x⁴，T₅=

35

8

x，T₉=

1

256

x^-2．

點評：本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題．